篇一：()d=()b
杨浦区2019学年度∵AB//CD，∴BPPGBGx???.CDGCGD443x4x2?4x?16∴BG?.····················································
（1分），CG?x?4x?4∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.
43xPBBGxx?4∴，∴?.····················································
（1分）
?CQCGy4x2?4x?16x?43x2?12x?48∴y?（0?x?8）.······················································
（2分）
3（3）i）当点P
在射线BA
上，点E在边BC的延长线时.1∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠PBQ=∠QBC=?ABC?30?.2∵△PBG∽△QCG，∴PGBG，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.
?QGCG∴∠QPG=∠QBC?30?，又∠PBQ=∠PCQ?30?，∴?CQE??QPC??QCP?60?.∴
?CQE??PBC?60?.····································································
（1分）
∵?PCB??E，∴
?PCB??QCE.又?PCB??QCE??PCQ?180?，∠PCQ?30?，∴
?PCB??QCE?75?.过C作CN?BP，垂足为点N，∴在Rt?CBN中，BN?2，CN?23.∴在Rt?PCN中，PN?CN?23.∴BP?23?2..................................................................................................................（2分）
ii）当点P
在边AB
的延长线上，点E在边BC上时，同理可得BP?23?2.......（3分）
篇二：()d=()b
专题七
平面向量的等和线
→→→根据平面向量基本定理，如果PA，PB为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC→→→→→都可以由PA，PB唯一线性表示：PC＝xPA＋yPB．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反→→之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知PA，PB为平面内两个不共线的→→→向量，设PC＝xPA＋yPB，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．
以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．
→→→如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)．
1．平面向量等和线定义
(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0．
(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共→→→线结论可知，若PF＝λPA＋μPB
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，|PC||PE||PD|→→→→→→→→→使得PC＝kPF(其中k＝＝＝)，则PC＝kPF＝kλPA＋kμPB．又PC＝xPA＋yPB
(x，y∈R)，所以|PF||PA||PB|x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆．
在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．
2．平面向量等和线定理
→→→→→→平面内一组基底PA，PB及任一向量PF满足：PF＝λPA＋μPB
(λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
3．平面向量等和线性质
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过点P时，k＝0；
(5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．
考点一
根据等和线求基底系数和的值
【方法总结】
根据等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．
→→→已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP＝xAB＋yAC，则有点P在直线BC上?x＋y＝1；点P与点
A在直线BC异侧?x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧?x＋y<1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小．
平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．
【例题选讲】
1→→→[例1](1)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①OA＋2OB；②OA21→3→1→3→1→3→→2→＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA＋BA＋OB．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量3434543的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．
答案
①③
解析
由向量共线的充要条件可得，当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数→→→→→u，v，使得OP＝uOA＋vOB成立，且u＋v＝1，所以点P位于阴影区域内的充要条件是“满足OP＝uOA＋→vOB，且u＞0，v＞0，u＋v＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确，3→1→→2→7→1→②④不正确；⑤原式＝OA＋(OA－OB)＋OB＝OA－OB，而－<0，故不符合条件．综上可知，只有①43433③正确．
→→→→→(2)设向量OA，OB不共线(O为坐标原点)，若OC＝λOA＋μOB，且0≤λ≤μ≤1，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()
→→→→答案
A
解析
当λ＝0时，OC＝μOB，故点C所有可能的位置区域应该包括边界OB或OB的一部分，故排除B，C，D项．故选A项．
→→→(3)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()
111A．
B．
C．
D．12341→1→1→t→1→t→→→1→1→→答案
A
解析
通法
设BM＝tBC，则AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋222222221t?→t→1tt1→→－AB＋AC，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝，故选A．
(AC－AB)＝??22?22222|AN|等和线法
如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，|AM||AN|1＝，故选A．
|AM|2ANBMC
→→→(4)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
4→→→→→→1→→→答案
解析
通法
选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF3211→→1→→→→→λ＋μ?AB＋?λ＋μ?AD，于是得＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝??2??2?24＝．
3|AC|等和线法
如图，EF为值是1的等和线，过C作EF的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，|AM||AC|4＝，故选B．
|AM|3??1?λ＋2μ＝1，1λ＋μ＝1，2?即?2μ＝?3，2λ＝，3故λ＋μDAEMFBC
→→(5)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b，→向量AO＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
2答案
解析
等和线法
如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k3|AO||AO|2＝．由图易知，＝．
|AM||AM|3ADBOMFC
→→→(6)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
321A．1B．
C．
D．
432→1→1→1→11→1→1→→答案
B
解析
通法
∵为线段AO的中点，∴BE＝BA＋BO＝BA＋×BD＝BA＋BD＝λBA＋2222224113→μBD，∴λ＋μ＝＋＝．
244|BE|等和线法
如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，|BF||BE|3＝，故选B．
|BF|4AEBCFD
→→→(7)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ的值为()
1145A．
B．
C．
D．
45541→→1→→→→→→答案
C
解析
法一：连接AC(图略)，由AB＝λAM＋μAN，得AB＝λ·(AD＋AC)＋μ·(AC＋AB)，则22→λ→?λμ?→→λ→?λμ?→1→→?μ?→?μ－1?AB?μ－1?AB?1λ＋3μ－1?AB＋AC＝0，＋[AD＋AB]＝0，＋AD＋得＋AD＋得?2??22??2??22??44?＋?λ＋2?AD222→→＝0．又AB，AD不共线，所以由平面向量基本定理得??μ?λ＋2＝0，13λ＋μ－1＝0，44?解得?8μ＝?5.4λ＝－，54所以λ＋μ＝．
5→→→→→→→→→→→→1→→→8法二：因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以AB＝454→4→AN－AM，所以λ＋μ＝．
554法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，54→→4→→所以AT＝AB＝λAM＋μAN，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝．
55等和线法
如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，|AB||AB|4则k＝．由图易知，＝，故选C．
|AT||AT|5DMCNABT
12→→→(8)(2013江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC23(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
11→→答案
解析
如图，过点A作AF＝DE，设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴DF＝221BH，因此λ1＋λ2＝．
(9)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于→→→点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ等于()
321A．1B．
C．
D．
432→→答案
A
解析
等和线法
如图，作AG＝BD，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A．
GDFECB
A考点二
根据等和线求基底的系数和的最值(范围)
【方法总结】
根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．
当点P是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线l，因点P无论在l何处，对应α＋β的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”(或“等值线”)，然后将“等和线”l在动点P的“可行域”内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法”．已知点P是△ABC所在平→→→面内一点，且AP＝xAB＋yAC，则有点P在直线BC上?x＋y＝1；点P与点A在直线BC异侧?x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧?x＋y<1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小．
平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．
【例题选讲】
→→→[例1](1)如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
答案
[3，4]
解析
等和线法
直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的ANAD等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4]．
AMAM2π→→(2)(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆3→→→心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
→答案
解析
通法
以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则1?cos??x?y?132π2→→→?A(1，0)，B(－，)，设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得?，2233?sin??y??2所以x＝cosα＋323π2ππsinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin(α＋)，又α∈[0，]，所以当α＝时，33633x＋y取得最大值2．
BEDC
等和线法
令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合|DO|角度，不难得到k＝＝2．
|OE|(3)(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
OA
→→→AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()
A．3B．22C．5D．2答案
A
解析
建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2，1)．设BD与圆C切于点E，连接BC·CD225CE，则CE⊥BD．因为CD＝1，BC＝2，所以BD＝12＋22＝5，EC＝＝＝，所以P点的BD5525x＝2＋cosθ，?54轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝．设P(x，y)，则?525y＝1＋sinθ?502200→→(θ为参数)，而AP＝(x0，y0)，AB＝15→→→→(0，1)，AD＝(2，0)．因为AP＝λAB＋μAD＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y02525255525?＝1＋sinθ．两式相加，得λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3?其中sinφ＝，cosφ＝，55555??π当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3．故选A．
|AM|等和线法
过动点P作等和线，设x＋y＝k，则k＝．由图易知，当等和线与EF重合时，k取最|AB||AE|大值，由EF∥BD，可求得＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A．
|AB|(4)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相→→→切的圆内运动，设AP＝xAB＋yAD(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
5CECDCE11，?
解析
等和线法
如图，答案
?作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知＝，即＝，?3?DABD110所以CE＝10，设与BD平行且与圆C相切的直线交AD延长线于点F，作DH垂直该线于点H，显然DH152，所以DF＝，过点P作直线l∥BD，交33＝2CE＝10DFDHDF，由△DFH∽△BDA得＝，即＝5BDBA10AD的延长线于点M，设t＝AM，则x＋y＝t，由图形知“等值线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位AD5ADAMAF551，?.置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1＝<<＝，即1 →→→动点，Q为三角形SMN内一点(含边界),若PQ＝xAM＋yBN(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________． DNQMSPBCA 3→→→→答案 [，1] 解析 如图，作PE＝BN，PF＝AM，过S直线MN的平行线，由等和线定理知，(x＋43y)max＝1，(x＋y)min＝． 4EDNQMSPBCF (6)如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意→→→一点，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为() A A．2B．3C．2D．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA，以D点为原点，BC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r，则圆心为坐标(0，r)，11根据三角形面积公式，得×l△ABC×r＝×AB×AC×sin60°(l△ABC为△ABC的周长)，解得r＝1．易得B(－3，22→→0)，C(3，0)，A(0，3)，D(0，0)，设M(cosθ，1＋sinθ)，θ∈[0，2π)，则BM＝(cosθ＋3，1＋sinθ)，BA?cosθ＝3x＋3y－3，→→＝(3，3)，BD＝(3，0)，故BM＝(cosθ＋3，1＋sinθ)＝(3x＋3y,3x)，故??sinθ＝3x－1，sinθ，?x＝1＋3则?3cosθsinθ2y＝－＋，?3332x＋y的最大值为2． 所以2x＋y＝3cosθsinθ42?π?4π＋＋＝sin?θ＋3?＋≤2．当θ＝时等号成立．故333336→→→→方法二 因为BM＝xBA＋yBD，所以|BM|2＝3(4x2＋2xy＋y2)＝3[(2x＋y)2－2xy]．由题意知，x≥0，y≥0，(2x＋y)2－(2x＋y)23→22|BM|的最大值为(23)－(3)＝3，又≥2xy，即≤－2xy，所以3×(2x＋y)2≤9，得2x＋y≤2，444当且仅当2x＝y＝1时取等号． 1→→→→→→→等和线法 BM＝xBA＋yBD＝2x(BA)＋yBD＝2xBE＋yBD，作出值1为的等和线DE，AC是过圆上的2|NB|点最远的等和线，设2x＋y＝k，则k＝＝2．∴2x＋y取得最大值2．故选C． |PB|AEPBODNMC (7)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，→→→若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________． →|OC|→→答案 (－1，0) 解析 通法 由题意得，OC＝kOD(k＜0)，又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0．又∵B，→|OD|→→→→→→→A，D三点共线，∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)． →→→→等和线法 如图，作OA，OB的相反向量OA1，OB1，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1→→分别为以OA，OB为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在直线l与直线A1B1之间，所以m＋n∈(－1，0)． B1A1COBAD (8)已知点O为△ABC的边AB的中点，D为边BC的三等分点，DC＝2DB，P为△ADC内(包括边界)→→→任一点，若OP＝xOB＋yOD，则x－2y的取值范围为________． 1→→→答案 [－8，－1] 解析 等和线法 如图，延长DO至点E，使DO＝2OE，则OE＝－OD，则OP＝2→→→→→→→xOB＋yOD＝xOB＋(－2y)OE，令z＝－2y，则x－2y＝x＋z，OP＝xOB＋zOE，设过点A，C，P与BE平行的直线分别为为l1，l2，l，设l，l2交线段OD延长线于点M，H，l1交线段OD于点K，令x＋z＝t，由OM图形知，t＝－，“等和线”l可从l1的位置平移至l2的位置，由平面几何知识可知△OBE≌△OAK，△DBEOEOEOBBDDE3OE1OKOMOHOD＋DH2OE＋6OE∽△DCH，所以＝＝1，＝＝＝，所以1＝≤≤＝＝＝8，则OKOACDDHDH2OEOEOEOEOE－8≤t≤－1，故x－2y的取值范围为[－8，－1]． (9)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正→→→方形内，包括边界点)上的任意一点，若向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为________． DPCAEB 1答案 解析 通法 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示21?→，0，C(1，1)，D(0，1)．设P(cosθ，sinθ)，∴AC＝(1，的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，E??2?11λ→→→，－1?，∵AC＝λ?，－1?＋μ(cosθ，sinθ)＝?＋μcosθ，－λ＋μsinθ?＝(1，1)，AP＝(cosθ，sinθ)，DE＝??2??2??2?1)，λ??2＋μcosθ＝1，∴???－λ＋μsinθ＝1，2sinθ－2cosθλ＝??2cosθ＋sinθ，∴?3μ＝?2cosθ＋sinθ，? 3＋2sinθ－2cosθ3sinθ＋3∴λ＋μ＝＝－1＋． 2cosθ＋sinθ2cosθ＋sinθ∴(λ＋μ)′＝6＋6sinθ－3cosθ?0，π?上是增函数，∴当θ＝0，即cosθ＝1时，λ＋μ取最>0，故λ＋μ在?2?(2cosθ＋sinθ)23＋0－21小值为＝． 22＋0→→→→→→→等和线法 由题意，作AK＝DE，设AD＝λAC，直线AC与PK直线相交于点D，则有AD＝λxAK＋λyAP，11由等和线定理，λx＋λy＝1，从而x＋y＝，当点P与B点重合时，如图，λmax＝2，此时，(x＋y)max＝． λ2TDPCDAEB(P)K →→→→(10)(2013·安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则→→→点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是() A．22B．23C．42D．43→→→→→→答案 D 解析 等和线法 如图，分别作OC＝－OA，OD＝－OB．当λ≥0，μ≥0时，{P|OP＝λOA＋→→→→μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|OP＝|λ|OA＋|μ|OB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，→→→→→→{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|OP＝|λ|OA＋|μ|OD，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域2； BC4D3O21A →→→→→→当λ<0，μ≥0时，{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|OP＝|λ|OC＋|μ|OB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ→→→→→→∈R}，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|OP＝|λ|OC＋|μ|OD，|λ|→→→＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域4．综上所述可得，点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S＝2×23＝43．故选D． 【对点训练】 →→→1．如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边界)，且AP＝λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围为() DCA PB A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[0，4] 1．答案 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min＝0，(λ＋μ)max＝3．故选C． DCPAB →→→2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________． 1→→0，? 解析 通法 由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC．∵点E 在线段CD上，2．答案 ??2?2μ→→→→→→→→→→→2μ→∴DE＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μλλ1λ10，?． ＝．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是??2?2231等和线法 如图，(1＋μ)min＝1，μmin＝0．(1＋μ)max＝，μmax＝． 22DE1A3CB233．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意 →→→一点(含边界)，设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ的取值范围为________． CPAB3FOD 333．答案 [1，] 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min＝1，(λ＋μ)max＝． 22CPABODE ︵→→4．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上 →→→运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是() A．1B．2C．3D．2︵→→→4．答案 B 解析 通法 因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以|OC|2＝|xOA＋yOB|2＝x2＋y2＋→→2xyOA·OB＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1．又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为2． |CO|等和线法 确定值为1的等和线AB，过动点C作等和线，设x＋y＝k，则k＝．由图易知，当等和|PO||MO|线与圆相切时，k取最大值，此时＝2，∴x＋y取得最大值2．故选B． |NO|BMNPA O5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆 →→→上及其内部的动点，设AP＝mAB＋nAF(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________． EDQPCCFAB AN5．答案 [2，5] 解析 等和线法 如图1时，m＋n的值最小且m＋n＝＝2，如图2时，m＋n的值最 ABAM大且m＋n＝＝5，ABEDFPBC(Q)A图1NED(Q)FPBCA图2M →→→6．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若AP＝x1AB＋y1AC →→→，AQ＝x2AB＋y2AC，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为______． APQBC 76．答案 解析 等和线法 由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时x1＋y1取最大值，x23|AP|4|AQ|1＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为＝，x2＋y2的最小值为＝．故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|(2(x1|AM|3|AM|3417＋y1)－(x2＋y2)|≤＋＝． 333AQBPC π→→→7．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若OC＝xOA＋yOB，则x＋3y的取值范围是 3________． →→OB→→→OB→7．答案 [1，3] 解析 等和线法 依题意，OC＝xOA＋3y()，如图，作OB′＝，重新调整基底为OA，33→OB′，设k＝x＋3y，显然，当C在A点时，经过k＝1的等和线，当C在B点时，经过k＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]． 8．如图，G为△ADE的重心，P为△GDE内任一点(包括边界)，B，C均为AD，AE上的三等分点(靠近 1→→→点A)，AP＝αAB＋βAC，则α＋β的取值范围是________． 3?1→→1→，3解析 等和线法 如图，在线段AE上取点F，使AC＝CF，则AP＝αAB＋βAF，设β 8．答案 ??2?22→→→＝γ，则AP＝αAB＋γAF，连接BF，延长EG交AD于点H，因为G为△ADE的重心，所以H为AD的AFAB中点，又B，C均为AD，AE上靠近点A的三等分点，所以＝＝2，所以BF∥HE，过点P作直FEBH线l∥HE交AD于点M，AM设α＋γ＝t，则t＝，由图形知，“等值线”l可从直线HE的位置平移到过点D的位置，由平面几AB3?33AHAMAD31，3，故α＋β的取值范围是?，3?． 何知识可知＝≤≤＝3，故≤t≤3，即α＋γ∈??2??2?2ABABAB229．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90?，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB 上运动．若OC?xOA?yOB．其中x，y?R，则2x?3y的最大值是() A．13B．3C．5D．59．答案 A 解析 通法 点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，?可以设圆的参数方程x?cos?，313213y?sin?，??[0?，90?]，?2x?3y?2cos??3sin??13sin(???)，其中cos???3x?5y，sin??，13，当且仅当sin(???)?1时取等号．当三角函数取到1时成立．故?x?y的最大值是13，选A． 1→1→|OD|→→→→→等和线法 OC＝xOA＋yOB＝2x(OA)＋3y(OB)＝2xOE＋3yOF，2x＋3y＝k，则k＝＝13． 23|OM|BDFOMECA 10．平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，→→→若AP＝xAB＋yAD，则3x＋2y的最大值为________． 1→→→－?＝(3x＋2y)2－3(3x)·(2y)≥(3x＋10．答案 解析 通法 |AP|2＝(xAB＋yAD)2＝9x2＋4y2＋2xy×3×2×??2?311→2y)2－(3x＋2y)2＝(3x＋2y)2．又|AP|2＝1，因此(3x＋2y)2≤1，故3x＋2y≤2，当且仅当3x＝2y，即x44411＝，y＝时，3x＋2y取得最大值2． 32等和线法 可转化为例2(2)． D1N1AP1MC2B 5→→→，若AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，211．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，P为矩形内一点，且AP＝则5λ＋3μ的最大值为______． 11．答案 解析 通法 建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(5，0)，C(5，3)，D(0，20≤x≤5，??0≤y≤3，553)．∵AP＝，∴x＋y＝．点P满足的约束条件为?245x＋y＝，??42222→→→∵AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，?x＝5λ，∴(x，y)＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴?∴x＋y＝5λ＋3μ．∵x＋y≤2(x2＋y2)＝?y＝3μ，当且仅当x＝y时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为10． 5102×＝，4251→1→→→→→→等和线法 AP＝λAB＋μAD＝5λ(AB)＋3μ(AD)＝5λAM＋3μAN，5λ＋3μ＝k，则k＝22532＝10． 2DNAM CPB π→→→12．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的一个动点，若OC＝xOA＋yOB，则x－y的取值 3范围是________． 12．答案 [?1，1] 解析 通法 设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直 31?→→→角坐标系，其中A(，)；B(1,0)；C(cos?,sin?)（其中?BOC??(0?)，有若OC＝xOA＋yOB2232sin?3311＝(cos?，sin?)?x(，，)?y(1，0)；整理得：x?y?cos?；x?sin?，解得x?22223y?cos??x?y?sin?33，则x?y?sin?2sin?3?cos??sin??3sin??cos??2sin(??)，其中(0?63??3)；易知2sin??cos??为增函数，由单调性易得其值域为[?1，?3sin??cos??2sin(??)，1]，63?故答案为[?1，1]． yACBOx 等和线法 AC 13．如图，在直角梯形ABCD中，AB?AD，AB//DC，AB?2，AD?DC?1，图中圆弧所在圆的圆 心为点C，半径为1，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP?xAB?yBC，其中x，y?R，2B1OB则4x?y的最大值为() DPCB AA．3? 251B．3? C．2D．3? 2425，?圆弧以点C为圆心的513．答案 B 解析 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1)，C(1,1)，B(2,0)，直线BD的方程为x?2y?2?0，C到BD的距离d?圆方程为(x?1)2?(y?1)2?1，设P(m,n)则AP?(m,n)，AD?(0,1)，AB?(2,0)，BC?(?1,1)，若4AP?xAB?yBC，?(m，n)?(2x?y，y)，?m?2x?y，n?y，P在圆内或圆上，?(2x?y?1)2?(y?1)21，设4x?y?t，则y?4x?t，代入上式整理得80x2?(48t?16)x?8t2?70，4?1f()?0?513?222设f(x)?80x?(48t?16)x?8t?70，x?[，]，则?，解得2t3?，故4x?y的最3222?f()?0??2大值为3?5，故选B． 2yDPC A等和线法 Bx π→→→14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上，且与A，B不重合的一个动点，OC＝xOA＋yOB，3若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为() ACOB 111A．(,1) B．(1,3) C．(,2) D．(,3) 23214．答案 C 解析 通法 以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，设?COB??(0???)，OB为x轴，31?cos??y?x?132?，?OB?1，则C(cos?,sin?)，B(1,0)，A(,)，由OC?xOA?yOB，得?223?sin??x??2?2?x?sin??2???3?，?u?x??y?sin???cos?(0???)，u?x??y(??0)存在最大值，?u(?)?sin?33?y?cos???3?存在极值点，?u???tan??2??令u??0，则tan??cos???sin?在??(0,)上有零点．3311???2，??的取值范围为(,2)．故选C． 22yACB?2??，??(0,)，33??2??3??(0,3)，?Ox 等和线法 15．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足|OA|?|OB|?2，OAOB?1，则点集 ?P|OP??OA??OB,|?|?|?| 2,?,??R所表示的区域的面积是() A．42B．43C．62D．8315．答案 D 解析 OAOB?2?2?cos?AOB?1，?cos?AOB?1，即?AOB?60?．（1）若??0，2????0，设OE?2OA，OF?2OB，则OP?OE?OF，22EAOBPF |?|?|?|????2，故当????2时，E，F，P三点共线，故点P表示的区域为?OEF，此时1S?OEF??22?22?sin60??23． 2(2)若??0，??0，设OE??2OA，OF?2OB，则OP??OE?OF，22AOPEBF?? |?|?|?|?????2，故当?????2时，P，E，F三点共线，故点P表示的区域为?OEF，此1时S?OEF??22?22?sin120??23．同理可得：当??0，??0时，P点表示的区域面积为23，2当??0，??0时，P点表示的区域面积为23，综上，P点表示的区域面积为23?4?83．故选D． 等和线法
篇三：()d=()b篇四：()d=()b
数学中b的公式
在数学中，b通常表示待求量或未知数。因此，数学中存在许多与b相关的公式和概念。以下是一些常见的b公式。
1.一次方程：在bX+c=d中，b表示X的系数，其中X是未知数。如果我们已知c和d的值，我们可以通过求解方程来解出X的值。
2.二次方程：在aX2+bX+c=d中，b表示X的系数，其中X是未知数。二次方程是一个常见的方程类型，在许多不同的数学应用中都有用到。
3.斜率：斜率是指函数的改变率或倾斜的程度。在分段线性函数y=m某+b中，b表示y轴截距。如果我们知道两个点的坐标，则可以使用(y2-y1)/(某2-某1)来计算函数的斜率。
4.平均数：在一组数字中，平均数是所有数字的总和除以数字的数量。在一些统计学应用中，我们可以使用b来表示平均数。
5.方差：方差是一组数字分布的离散程度的度量。在计算方差时，我们需要计算每个数字与平均值之间的差异，然后将这些差异的平方相加，最后除以数字的数量。b2是这个公式中的一个组成部分。
6.抛物线方程：抛物线方程通常写作y=a某2+b某+c，其中b表示横坐标的系数。抛物线方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
7.统计学中的回归：回归分析是一种统计学方法，用于识别自变量（通常用某表示）对因变量（通常用y表示）的影响程度。在一些回归模型中，b表示某和y之间的关系的斜率。
8.最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合数据的统计学方法。b可以表示最小二乘法线性拟合的斜率。
9.矩阵运算：在矩阵运算中，b可以表示一个向量或矩阵的某个元素。矩阵运算在计算机科学、物理学和工程学中有广泛的应用。
总之，在数学和其它一些科学领域中，我们可以看到许多不同的b相关的公式和概念。这些公式和概念在帮助我们理解自然界中的现象、设计新的科技和解决实际问题等方面发挥着重要的作用。
篇五：()d=()b
山东省2022年普通高校招生（春季）考试
数学试题
1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。
卷一（选择题
8．已知p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（）．
A．?q
B．?p∧q
C．?(p∨q)
D．p∧q
→→→9．如图所示，△ABC中，D是BC的中点，设AB＝a，AD＝b，则AC等于（）．
A．a－2b
B．a＋2b
C．－a＋2b
D．－a－2b
10．圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心坐标是（）．
C．(－2，3)
A
（第9题图）
B
C
D
A．(2，3)
B．(2，－3)
D．(－2，－3)
11．已知tan(π－α)＝3，且α是第二象限角，则sinα等于（）．
A．1B．－1310C．
310D．－
1012．在(x－2)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）．
A．160x3B．－160x3C．60x4D．－60x413．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为1m，高为3m（不计厚度）．设容器内液面高度为x（m），液体的体积为V（m3），把V表示为x的函数，则该函数的图像大致是（）．
x(m)
V(m3)
V(m3)
V(m3)
V(m3)
O
x(m)
O
x(m)
O
x(m)
O
x(m)
（第13题图）
A．
B．
C．
D．
14．某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（）．
1A．
61B．
92C．
1D．
315．已知函数f(x)＝x2＋bx图像的对称轴为x＝1，则不等式f(x)＜0的解集是（）．
A．(－2，0)
C．(0，2)
B．(－?，－2)∪(0，＋?)
D．(－?，0)∪(2，＋?)
π→16．已知点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，若β－α＝，则|AB|等于（）．
3A．1B．2C．3D．2202217．对于a?Z，0≤b＜1，给出运算法则：【a＋b】＝a－2，则【－1.414】的值等于（）．
A．1B．C．－3D．－4y
18．下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（）．
?y－2≥0A．?
?x－y＋2＜?y－2≤0B．?
?x－y＋2＜0O
x－y+2＝y－2＝?y－2≥0C．?
?x－y＋2＞0x
D．??y－2≤0?x－y＋2＞（第18题图）
19．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7．现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（）．
A．B．12C．1D．24x2y220．已知双曲线
2－2＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，过点F2作双ab曲线一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则双曲线的离心率是（）．
A．6B．5C．3D．2卷二（非选择题
三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
k26．(7分)已知函数f(x)＝，且f(2)＝1．
x（1）求实数k的值；
（2）证明函数f(x)在(0，＋?)上是减函数．
27．（8分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱BB1上的点，求证：
（1）AC∥平面A1PC1；
（2）AC⊥D1P．
28．（8分）如图所示，已知等边△ABC的边长为6，顺次连接△ABC各边的中点，构成△A1B1C1，再顺次连接△A1B1C1各边的中点，构成△A2B2C2，依此进行下去，直至构成△AnBnCn，这n个新构成的三角形的边长依次记做a1，a2，…，an
．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）若△AnBnCn的边长小于0.01，求n的最小值．
B
A1A2A
C2…
B1（第28题图）
C1B2C
A1D
D1B1P
C1C
B
A
（第27题图）
29．（8分）已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋m的图像过点(0，－1)．
（1）求函数f(x)的最大值；
π（2）若α?(0，)，且f(α)＝1，求α的值．
x2y230．（9分）如图所示，已知椭圆
2＋2＝1（a＞b＞0）的右顶点是A，左右焦点分别是F1，F2，且ab|AF1|＝2＋1，|AF2|＝2－1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：x－2y＋m＝0交椭圆于点M，N，以线段F2M，F2N为邻边作平行四边形F2MPN，若点P在椭圆上，求实数m的值．
（第30题图）
P
N
F1O
F2y
M
l
A
x
2022山东省2022年普通高校招生（春季）考试
数学试题答案
卷一（选择题
10.B（提示：配方得，(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则圆心为(2，－3)，半径为r＝4）
sinα??cosα
＝－3911.C（提示：由tan(π－α)＝－tanα＝3，得tanα＝－3，由?，得sin2α＝，又α是10??sin2α＋cos2α＝1310第二象限角，则sinα＝）
10312.B（提示：展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即T4＝Cx3(－2)3＝－160x3）
613.A（提示：因为V＝Sh＝πx，x?[0，3]，所以V是关于x的正比例函数，且在区间[0，3]上单调递增，其图像是一条自左而右逐渐上升的直线）
14.B（提示：甲乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，一共有n＝3×3＝9个基本事件，随机事m1件A“恰好都选择舞蹈”的基本事件个数为m＝1，所以概率是P(A)＝＝）
n9b15.C（提示：由对称轴x＝－＝1，得b＝－2，解不等式x2－2x＜0，得0＜x＜2）
2→16.A（提示：|AB|＝(cosβ－cosα)2＋(sinβ－sinα)2＝2－2cosβcosα－2sinβsinα
＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)＝?2－2cos＝1）
317.D（提示：【－1.414】＝【－2＋0.586】＝－2－2＝－4）
18.B（提示：阴影区域在直线
y－2＝0的下方与直线x－y＋2＝0的左侧公共部分，根据系数法可知需满足x－y＋2＜0且y－2≤0）
19.D（提示：一共6个数字，十位上的数字有6种不同的选法，个位上的数字有4种不同的选法，所以由分步计数原理可得，N＝6×4＝24个两位数）
20.A（提示：如图所示，在Rt?OF2P中，易知OP＝a，PF2＝b，OF2＝c；令∠OF2P＝?，则cos?＝F2Pb＝
.又在?PF1F2中，易知PF1＝3OP＝3a，PF2＝b，F1F2＝2c，则由余弦定理可得，cos?＝OF2cPF22＋F1F22－PF12b2＋(2c)2－(3a)2b2＋4c2－9a2bb2＋4c2－9a2＝＝；由＝，可得b2＋4c2－9a2＝4b2，4bcc4bc2PF2×F1F22b×2cc即4c2－9a2＝3b2＝3(c2－a2)；化简得，c2＝6a2，c＝6a，则e＝＝6）
a
y
F1O
P
θ
F2x
（第20题图）
2022卷二（非选择题
222(x1－x2)则△x＝x2－x1，△y＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝－＝，x2x1x1x2因此，△yf(x2)－f(x1)2(x1－x2)－21＝＝×＝，x1x2△xx2－x1x2－x1x1x2△y－2＝＜0，△xx1x2因为x1，x2?(0，＋∞)，所以x1x2＞0，则所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
27.证明：（1）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，故AC∥A1C1，因为AC?平面A1PC1，A1C1?平面A1PC1，所以AC∥平面A1PC1．
（2）如图所示，连接BD，B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，D
A1D1B1P
C1C
B
A
（第27题图）
因为BB1∩BD＝B，BB1?平面BB1D1D，BD
?平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，因为D1P?平面BB1D1D，所以AC⊥D1P．
3328.解：（1）a1＝3，a2＝，a3＝．
241（2）这
n个新构成的三角形的边长成等比数列{an}，a1＝3，q＝，21n－1则an＝a1q＝3×()．
2n1n－11n－11因为△AnBnCn的边长小于0.01，所以3×()
＜
0.01，即()
＜
．
223001所以n－1＞log1，n＞9.23，即n的最小值为10．
300229.解：（1）因为函数图像过点(0，－1)，所以f(0)＝
23sin0cos0－2cos20＋m＝－1，解得m＝1．
?则函数f(x)
＝23sinxcosx－2cos2x
＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，6所以函数f(x)的最大值是2．
??1（2）因为f(α)＝2sin(2α－)＝1，即sin(2α－)＝，662???5???所以2α－＝＋2kπ或者2α－＝＋2kπ（k?Z），解得α＝＋kπ或者α＝＋kπ（k?Z），6666622022??因为α?(0，)，所以α＝．
2630.
解：（1）因为|AF1|＝2＋1，|AF2|＝2－1，即a＋c＝2＋1，a－c＝2－1，解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝1，x22所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
2（2）由（1）可知，F1(－1,0)，F2(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x,y)，→→→由题意可知，F2M＋F2N＝F2P,即(x1－1，y1)＋(x2－1,y2)＝(x－1,y)，???x1－1＋x2－1＝x－1?x＝x1＋x2－1可得?，化简得?①，?y1＋y2＝y?y＝y1＋y2??x??2＋y2＝1联立方程组?，消去x可得6y2－4my＋m2－2＝0.
??x－2y＋m＝0因为直线与椭圆有两个不同交点，所以Δ＝(4m)2－4×6×(m2－2)＞0，解得－6＜m＜6，4m2m由韦达定理得，y1＋y2＝＝，63又由直线方程可知x＝2y－m，2m2m则x1＋x2＝2y1－m＋2y2－m＝2(y1＋y2)－2m＝2×－2m＝－，332mx＝－－13代入①，可得，2my＝32???2m(－－1)232m因为P在椭圆上，所以满足椭圆方程＋()2＝1，2313化简得4m2+4m－3＝0，解得m＝或m＝－（满足△＞0），2213所以m的值为或－.
222022
篇六：()d=()b
2022-2023学年河南省郑州市中原区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．（3分）2023年是农历癸卯兔年，小红所在的社区开展了“兔年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（A．B．）C．D．2．（3分）郑州市市花是月季花，月季随处可见，可谓：“一城月季，满城花香”，月季的花粉颗粒直径约为0.00064cm，其中数据0.00064用科学记数法表示为（A．6.4×10﹣2）﹣5B．6.4×10﹣3C．6.4×10﹣4D．6.4×103．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，∠EOC＝39°，则∠BOD的度数为（）A．141°B．129°C．51°D．39°4．（3分）某种玉米种子在相同条件下的发芽实验结果如下表：每批粒数n发芽的粒数m发芽的频率100650.652001280.643001680.565002850.57）C．0.57）B．（a2﹣ab）÷a＝a﹣bD．﹣a4b3÷a2b＝a2bD．0.6200012600.63500029500.591000060000.6则任取一粒种子，估计它发芽的概率是（A．0.65B．0.565．（3分）下列计算正确的是（A．2x?2x2＝2x3C．（﹣3a4）3＝﹣9a126．（3分）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2的度数为（）第1页（共7页）
A．100°B．110°C．120°D．130°7．（3分）如图，右边的天鹅是用左边面积为64的七巧板拼出的图案，则图中阴影部分的面积是（）A．20B．24C．28D．328．（3分）水钟在中国又叫“刻漏”，小军制作了简易沙漏型水钟如图所示：高20cm的矿泉水瓶子内部盛满水，假定水从瓶盖的小孔均匀漏出．用x表示漏水时间，y表示漏水瓶水面下降的高度，小军记录部分数据如表所示：x（分钟）y（cm）估计多长时间后漏水瓶会漏完水（14）1.56282.510A．5分钟B．6分钟C．7分钟D．8分钟9．（3分）PTC是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大，用PTC材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛．如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了PTC发热材料，其电阻值R（kΩ）随温度T（℃）变化的关系图象如图2所示，下列说法不正确的是（）第2页（共7页）
A．由图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是40℃B．当T＝60℃时，该PTC发热材料的电阻值为10kΩC．当R＝12kΩ时，T＝70℃D．发热部分的电阻值随温度的升高而增大10．（3分）如图，在△ACD中，AB＝AC＝7，AD＝8.3，点E在AD上，CE＝CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP+AP的最小值为（）A．6B．7C．7.5D．8.3二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图，∠A+∠B+∠C＝．12．（3分）如图，点P在∠AOB的角平分线OC上，请你添加一个条件，使得△AOP≌△第3页（共7页）
BOP，你添加的条件是．13．（3分）从某一点向河对岸建桥时，往往会垂直于河对岸建造，这样最节省材料．请你用本学期所学数学知识解释：．14．（3分）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶﹣奇﹣总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶﹣奇﹣总”排列，……继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是．．15．（3分）∠A的两边与∠B的两边分别平行，若∠A＝36°，则∠B的补角为三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．（8分）（1）计算：；（2）化简：（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b）+（2a﹣b）2．17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）在（1）的条件下，若AC＝2，CB＝5，则△CAP的周长是．第4页（共7页）
18．（6分）已知：如图1，AM∥BN，点P是两平行线间的任意一点，连接AP，BP．小雅猜想∠APB＝∠A+∠B，并写出了如下的证明过程，请你补充完整．证明：如图2，过点P作直线CD使得CD∥AM，∴∠A＝∠APC（两直线平行，内错角相等）．∵AM∥BN（∴CD∥），（平行于同一条直线的两条直线平行）．）．∴∠B＝∠BPC（∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B（等量代换）．19．（8分）小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．（1）转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．（2）小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．20．（8分）已知小林同学的家、碧沙岗公园、新华书店在同一条直线上，小林从家匀速走15分钟到碧沙岗公园，在公园休息了一阵后又匀速走到新华书店买书，然后再匀速走回第5页（共7页）
家．下面给出的图象反映了在这个过程中小林离家的距离y（km）与离家的时间x（分钟）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量是；因变量是．km；（2）填空：①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为km/分钟．（3）当小林离家的距离为1km时，请你求出他离家的时间．21．（9分）在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究：（1）小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为5cm的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙AD、BE（点A、D、E、B在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A与点B分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离DE，请你帮小华写出求解过程．（2）小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形ACED，其中EC∥AD，∠D＝90°，EC＝，AD＝8，接着小聪以点C为直角顶点，画出AC＝BC的等腰直角三角板ABC，连接BE，探索中发现无论DE以及AC的长度怎么变化，△BCE的面积始终不变，请直接写出△BCE的面积．第6页（共7页）
22．（10分）图中是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小方完成以下学习任务：（1）如图1，点M、N分别是∠AOB边OA和OB上的点，OM＝ON，点P是射线OC上一点，测得PM＝PN．请说明OP平分∠AOB．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，点P为DC中点，将四边形ABCD沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若PB＝6，PA＝8，AB＝10，PE＝a，当△PBC其中一条边上的高为5时，请直接写出△PAD的面积．（可用含a的式子表示）第7页（共7页）
2022-2023学年河南省郑州市中原区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：0.00064＝6.4×104，﹣故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．3．【分析】根据垂直定义求出∠EOA＝90°，进而求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等得到答案．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOA＝90°，∵∠EOC＝39°，∴∠AOC＝∠EOA﹣∠EOC＝51°，∴∠BOD＝∠AOC＝51°．故选：C．【点评】此题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键．4．【分析】利用频率估计概率：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，由表中数据即可得到答案．【解答】解：由频率估计概率，结合表中数据可知任取一粒种子，估计它发芽的概率是第1页（共11页）
0.6，故选：D．【点评】本题考查用频率估计概率，理解：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率是解决问题的关键．5．【分析】根据单项式乘单项式法则，多项式除以单项式法则，幂的乘方与积的乘方和单项式除以单项式法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．【解答】解：A．2x?2x2＝4x3，故本选项不符合题意；B．（a2﹣ab）÷a＝a2÷a﹣ab÷a＝a﹣b，故本选项符合题意；C．（﹣3a4）3＝﹣27a12，故本选项不符合题意；D．﹣a4b3÷a2b＝﹣a2b2，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．6．【分析】过点B作BE∥AD，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，再解答即可．【解答】解：过点B作BE∥AD，∵AD∥∥CF，∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，即∠1+∠ABC+∠2＝360°，∵∠1＝150°，∠ABC＝90°，∴∠2的度数为120°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此第2页（共11页）
题的关键．7．【分析】根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的积的．【解答】解：根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的方形面积的；∴阴影部分的面积＝64×（故选：B．【点评】本题主要考查七巧板的知识点，明确各种图形在正方形中的百分比是解题的关键．8．【分析】观察可得该函数是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，把y＝20代入求解即可．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），把（1，4）和（2，8）代入得：，∴，×2+×2）＝24，，小正方形的面积和平行四边形的面积都等于正，小正方形的面积和平行四边形的面积都等于正方形面∴该函数解析式y＝4x，把y＝20代入得，x＝5．故选：A．【点评】本题考查待定系数法求一次函数，掌握待定系数法是解题关键．9．【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：由题图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是30℃，故选项A说法错误，符合题意；由题图2，可知当T＝60℃时，该PTC发热材料的电阻值为10kΩ，故选项B说法正确，不符合题意；当R＝12kΩ时，T＝70℃，故选项C说法正确，不符合题意；发热部分的电阻值随温度的升高而增大，故选项D说法正确，不符合题意．第3页（共11页）
故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．10．【分析】连接BP，由AECP≌△BCP得BP﹣EP，EP+AP﹣BP+AP，根据BP+AP≥AB知，当点P在线段AB上时，EP+AP的最小值是AB，问题得解．【解答】解：连接BP，∵CF平分∠BCE交AD于点F，∴∠ECP＝∠BCP，∴CE＝CB，CP＝CP，∴△ECP≌BCP（SAS），∴BP＝EP∴EP+AP＝BP+AP，且BP+AP≥AB，∴当点P在线段AB上时，EP+AP的最小值是AB．∵AB＝7．∴EP+AP的最小值为7．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【分析】三角形内角和定理：三角形内角和是180°，由此即可得到答案．【解答】解：∵三角形内角和是180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°．故答案为：180°．第4页（共11页）
【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．12．【分析】添加一个条件：AO＝BO，由SAS判定△AOP≌△BOP．【解答】解：添加一个条件：AO＝BO，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，在△AOP≌△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS）．故答案为：AO＝BO（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．13．【分析】根据垂线段的性质分析得出答案．【解答】解：从某一点向河对岸建桥时，往往会垂直于河对岸建造，这样最节省材料，用本学期所学数学知识解释：垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．14．【分析】根据题意，把新数5510按照“偶﹣奇﹣总”的程序不断排出新数，直到产生的结果停留在某个或某几个数字上即可．【解答】解：数字5510，偶数有1个，奇数有3个，总数有4个，得到新数为134；数字134，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；数字123，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；……继续下去，得到一个“数字黑洞”是123．故答案为：123．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，要求正确理解排出新数的程序，从而进行推导并找到规律．15．【分析】根据角的两边分别平行得出∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，代入求出∠B的度数，再根据补角的定义求解即可．【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠A＝36°，∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，∴∠B＝144°或36°，第5页（共11页）
∵180°?144°＝36°，180°?36°＝144°，∴∠B的补角为36°或144°，故答案为：36°或144°．【点评】本题考查了平行线的性质以及补角的定义，注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．注意：运用了分类思想．三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．【分析】（1）先根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算加减即可；（2）先根据平方差公式，单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．【解答】解：（1）＝﹣4﹣1+3＝﹣2；（2）（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b）+（2a﹣b）2＝a2﹣b2﹣2a2+4ab+4a2﹣4ab+b2＝3a2．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据实数和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．17．【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；（2）根据（1）的结论及三角形的周长公式求解．【解答】解：如图：点P即为所求；（2）∵PA＝PB，∴△CAP的周长为：AC+CP+AP＝AC+CP+BP＝AC+BC＝2+5＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．第6页（共11页）
18．【分析】利用两直线平行，内错角相等即可得答案．【解答】解：如图2，过点P作直线CD使得CD∥AM，∴∠A＝∠APC（两直线平行，内错角相等．），∵AM∥BN（已知），∴CD∥BN（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠B＝∠BPC（两直线平行，内错角相等），∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B（等量代换），故答案为：已知；BN；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题关键..19．【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）根据概率公式求出指针指向蓝色区域的概率和指针指向黑色区域的概率，然后判断即可．【解答】解：（1）∵转盘被等分成了10个扇形区域，红色扇形有2个，∴指针指向红色区域的概率为＝；（2）小军设计的游戏规则对双方不公平；理由：∵转盘被等分成了10个扇形区域，蓝色扇形有2个，黑色扇形有1个，∴指针指向蓝色区域的概率为＝，指针指向黑色区域的概率为，，即小军自己获胜的概率为，小明获胜的概率为∵＞，∴小军自己获胜的概率较大，小军设计的游戏规则对双方不公平．【点评】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式的应用是解题的关键．20．【分析】（1）根据函数的定义可得答案；（2）①根据函数图象相应点的纵坐标可得碧沙岗公园到新华书店的距离；②根据“速度＝路程÷时间”可得答案；（3）分去和返回两种情况解答即可．【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是距离．故答案为：时间，距离；（2）①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为：2.5﹣1.5＝1（km），第7页（共11页）
故答案为：1；②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为：1÷（45﹣30）＝故答案为：；＝6（分钟）或65+（90（km/分钟），（3）当小林离家的距离为1km时，他离家的时间为：1÷﹣65）×＝73（分钟）．【点评】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．21．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质进行解答．（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD＝5×3＝15（cm），BE＝7×5＝35（cm），由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴EC＝AD＝15cm，DC＝BE＝35cm，∴DE＝DC+CE＝50（cm），答：两堵木墙之间的距离为50cm．（2）过C作CN⊥AD于N，过B作BM⊥CN于M，∵由（1）知，△CBM≌△ACN，∴EC∥AD，∠D＝90°，∴∠D＝∠DEC＝90°，∴四边形CEDN是矩形，第8页（共11页）
∴CN＝DE，CE＝DN＝，∵AD＝8，∴AN＝，由（1）知，△CBM≌△ACN，∴CM＝AN＝，∴△BCE的面积＝EC?CM＝××＝．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．22．【分析】（1）直接利用SSS证明全等，即可得出结论．（2）证明△PEB≌△PCB，利用等量代换和平角的定义得∠PDA+∠PCB＝∠PEB+∠PEA＝180°，即可证明AD∥BC．（3）由翻折可知△PAD的面积等于△PAE的面积，证明△ABP是直角三角形，△ABP的面积为24，分三种情况讨论：PB边上的高，PC边上的高，BC边上的高．【解答】（1）证明：∵OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB．（2）解：AD∥BC，理由如下：由翻折的性质可得PD＝PE，∠PDA＝∠PEA，AD＝AE，∵AB＝AD+BC，∴BE＝BC，∵点P为DC中点，∴PD＝PC，∴PE＝PC，∵PE＝PC，BE＝BC，PB＝PB，∴△PEB≌△PCB（SSS），∴∠PEB＝∠PCB，∵∠PDA＝∠PEA，∴∠PDA+∠PCB＝∠PEB+∠PEA＝180°，第9页（共11页）
∴AD∥BC．（3）解：由翻折可知△PAD的面积等于△PAE的面积，∵PB＝6，PA＝8，AB＝10，∴62+82＝102，∴△ABP是直角三角形，∴∠APB＝90°，∴△ABP的面积为如图，若PB边上的高为5时，即CF＝5，，则△PBC的面积为∵△PEB≌△PCB，∴△PBE的面积为15，∴△PAE的面积为24﹣15＝9，∴△PAD的面积为9；，如图，若PC边上的高为5时，即BG＝5，则△PBC的面积为∵△PEB≌△PCB，∴△PBE的面积为，，第10页（共11页）
∴△PAE的面积为∴△PAD的面积为，；如图，若BC边上的高为5时，即PH＝5，过点P作PM⊥AB交AB于点M，则即∴，，∵△PEB≌△PCB，∴两个三角形对应边上的高相等，∵，PH＝5，PM≠PH，∴不存在此种情况，综上，△PAD的面积为9或．【点评】本题考查了四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的逆定理等，注意分类讨论是解答本题的关键。第11页（共11页）
篇七：()d=()b篇八：()d=()b
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）?．
填空.1.3.0)(,4.0)(==BPAP。若A与B独?，则=-)(BAP；若已知BA,中?少有?个事件发?的概率为6.0，则=-)(BAP。2．)()(BApABp=且2.0)(=AP，则=)(BP。3．设),(~2σμNX，且3.0}42{},2{}2{=<<≥==>}0{XP。4．1)()(==XDXE。若X服从泊松分布，则=≠}0{XP；若X服从均匀分布，则=≠}0{XP。5．设44.1)(,4.2)(),,(~==XDXEpnbX，则==}{nXP6．,1)(,2)()(,0)()(=====XYEYDXDYEXE则=+-)12(YXD。7．)16,1(~),9,0(~NYNX，且X与Y独?，则=-<-<-}12{YXP（?Φ表?），=XYρ
。8．已知X的期望为5，?均?差为2，估计≥<<}82{XP。9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的?偏估计量，且)?()?(2221θθEE>，则其中的统计量
更有效。10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信?平愈
愈好，?置信区间的长度愈
愈好。但当增?置信?平时，则相应的置信区间长度总是
。?．假设某地区位于甲、?两河流的汇合处，当任?河流泛滥时，该地区即遭受?灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；?河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，?河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受?灾的概率；（2）当?河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。三．?射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独?），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，?知若敌机中?弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。四．X的概率密度为?<<=其它,0,0,)(cxkxxf且E(X)=32。（1）求常数k和c；(2)求X的分布函数F(x)；五．
（X,Y）的概率密度<<<<+=otherwise,020,42),2(),(yxykxyxf。求
（1）常数k；（2）X与Y是否独?；（3）XYρ；六．.设X，Y独?，下表列出了?维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填?表中空?处.七．.某?寿保险公司每年有10000?投保，每?每年付12元的保费，如果该年内投保?死亡，保险公司应付1000元的赔偿
费，已知?个??年内死亡的概率为0.006。?中?极限定理近似计算该保险公司?年内的利润不少于60000元的概率.四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有①==?ccxfxfx001)(32)(即==cckxdxdxkx002132}?{12==ck②由①知x的密度函数为{1020)(<<=xxxf其他当x时0≤()0=xF；
当10<2xtdtdttfxFxx===?
∞-当1≥x时()()?
===∞-112xdxdttfxFx五、由（x、y）联合密度的性质有：①．()?+∞
∞-+∞∞-=1,dxdyyx即()361124220=?=+??kdxdyykx②．
由①可求出（x，y）的联合密度：()()其他20,,4202361,<<<()()()yfxfyxfYX?=∴,故x,y相互独?。③．
由②知()yx,相互独?。0=∴xyρ六、略七、解：令x为?年内死亡?数，题中10000?投标，每?每年死亡率0.006且每?每年死亡相互独?，故x~N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~N（60，59.64）设A：保险公司?年内的利润不少于60000元。即A：10000*12-1000x≥6000060≤?x概率论与数理统计复习题（2）?.选择题（18分，每题3分）1．设BA,为随机事件，且1)|(=ABP，则必有)(AA是必然事件；)(B0)|(=ABP；)(CBA?；)(DBA?.2．?袋中有6只红球，4只?球，任取1球，记住颜?后再放??袋。共进?4次，记X为红球出现的次数，则X的数学期望=)(XE)(A1016；)(B1024；)(C104；)(D10642?.3．设随机变量X的分布密度函数和分布函数为)(xf和)(xF,且)(xf为偶函数,则对任意实数a,有4．设随机变量X和Y相互独?,且都服从)1,0(区间上的均匀分布,则仍服从均匀分布的随机变量是5．已知随机变量X和Y都服从正态分布:)3,(~,)4,(~22μμNYNX,设)4(1+≥=μXp,)3(2-≤=μYPp,则)(A只对μ的某些值,有21pp=)(B对任意实数μ,有21pp<)(C对任意实数μ,有21pp>)(D对任意实数μ,有21pp=6．设22,),(~σσμNX未知，则μ的置信度为%95的置信区间为
?.填空题（21分，每题3分）1．
已知随机事件A，B有概率7.0)(=AP，8.0)(=BP，条件概率6.0)|(=ABP，则=?)(BAP．2.已知随机变量),(YX的联合分布密度函数如下,则常数=K
3某?射击直到中靶为?,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数学期望与?差分别为)(XE=,)(XD4.已知?维随机变量),(YX的联合分布函数为),(yxF，试?),(yxF表?概率=>>),(bYaXP.5.设321,,XXX是取?N(,)μ1的样本，3211)22(3?XkXkX-++=μ是μ的?偏
估计量则常数=k6．设（621,,,XXXΛ）是来?正态分布)1,0(N的样本，当c＝
时，cY服从2χ分布，)(2χE＝.7．设离散型随机变量),(YX的联合分布律为若8.0)(=XYE，则=),cov(YX.三.计算题
（54分，每题9分）1．某种产品分正品和次品，次品不许出?。出?的产品n件装?箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有?批产品未经检验就直接装箱出?，某客户打开其中的?箱，从中任意取出?件，求：（1）取出的是件正品的概率；
（2）这?箱?没有次品的概率2．设?维随机变量（X,Y）在区域}||,10|),({xyxyxG≤≤≤=上服从均匀分布。求：边缘密度函数(),()XYfxfy.3．已知随机变量）；，；，091.045.0(~),(NYX，YXZ-=2，试求：?差)(ZD，协?差)(ZXCOV，，相关系数ZXρ4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学?中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学?参加考试，试?中?极限定理估计100位学?考试的总分在180?200分之间的概率。（9680.0)856.1(=Φ）5．设12,,,nXXXL是取?总体X的?个样本，总体~X
∈=-)1,0(,0)1,0(,),(1xxxxfθθθ，)0(>θ。试求：(1)未知参数θ的矩估计量θ)；(2)未知参数θ的极?似然估计量Lθ)；(3))(2XE的极?似然估计量.6．某种产品的?项质量指标)(~2σμ，NX，在5次独?的测试中，测得数
据（单位：cm）1.231.221.201.261.23试检验（0.05α=）
（1）
可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm？（2）
若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显着偏?？附
分布数值表概率论与数理统计复习题（2）答案?.选择题（18分，每题3分）
cbacdb?.填空题（21分，每题3分）1．62.0；2．24；3．4/39/44．),(),(),(1bFaFbaF+∞-∞+-+；5．4；6．1/32；7．0,1三.计算题（54分，每题9分）1．
解：令A={取出为正品}，tB={箱?中有t个正品}，nt,,2,1,0Λ=.由已知条件，11)(+=nBPt，ntBAPt=)(,nt,,2,1,0Λ=，（1）由全概率公式，∑∑===+==ntttnttnnBAPBPAP0021111)()()(,（2）由Bayes公式，)1(21)()()()(+==nAPBAPBPABPnnn.2.解：??<<=其他102)(xxxfX3．解：9.0)(=ZE25)(=ZD4．解：设iX为第I位学?的得分)100,2,1(Λ=i，则总得分∑==1001iiXX5．解：（1）
矩估计量21-=XXθ)
（2）
极?似然估计量212ln??=∑-niiLXnθ)（3）)(2XE的极?似然估计量∑=+=+=niiLLXnnXE12222)ln(22)(?θθ))7.解：（1）假设01:1.23;:1.23HHμμ=≠.当0H为真，检验统计量)1(~/0--=ntnSXTμ0.0252(1)(4)2.7764tntα-==，拒绝域(,2.7764][2.7764,)W=-∞-?+∞221.246,0.0288xs==，[221.23,0.0224xs==]01.242TW=?，接受0H.[WT∈=571.30，拒绝0H]（2）假设222201:0.015;:0.015HHσσ=>.当0H为真，检验统计量)1(~)1(22022--=nSnχσχ220.05(1)(4)9.488nαχχ-==，拒绝域[9.488,)W=+∞.2014.86Wχ=∈，拒绝0H.概率论与数理统计复习题（3）?．判断题（10分，每题2分）1.在古典概型的随机试验中，0)(=AP当且仅当A是不可能事件()
2．连续型随机变量的密度函数)(xf与其分布函数)(xF相互唯?确定()3．若随机变量X与Y独?，且都服从1.0=p的(0，1)分布，则YX=()4．设X为离散型随机变量,且存在正数k使得0)(=>kXP，则X的数学期望)(XE未必存在()5．在?个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第?类错误的概率与犯第?类错误的概率不能同时减少()?．选择题（15分，每题3分）1.设每次试验成功的概率为)10(<得)1(nrr≤≤次成功的概率为.(a)rnrrnppC----)1(11；(b)rnrrnppC--)1(；(c)1111)1(+-----rnrrnppC；(d)rnrpp--)1(.2.离散型随机变量X的分布函数为)(xF，则==)(kxXP.(ａ))(1kkxXxP≤≤-；(ｂ))()(11-+-kkxFxF；(ｃ))(11+-<3.设随机变量X服从指数分布，则随机变量)2003,(maxXY=的分布函数.(ａ)是连续函数；(ｂ)恰好有?个间断点；(ｃ)是阶梯函数；(ｄ)?少有两个间断点.4.设随机变量),(YX的?差,1)(,4)(==YDXD相关系数,6.0=XYρ则?差=-)23(YXD.(ａ)40；(ｂ)34；(ｃ)25.6；(ｄ)17.65.设),,,(21nXXXΛ为总体)2,1(2N的?个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是.(ａ))(~/21ntnX-；(ｂ))1,(~)1(4112nFXnii∑=-；(ｃ))1,0(~/21NnX-；(ｄ))(~)1(41212nXniiχ∑=-.?.填空题（28分，每题4分）1.?批电?元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取?个,则第?次才取到正品的概率为
2.设连续随机变量的密度函数为)(xf，则随机变量XeY3=的概率密度函数为=)(yfY3.设X为总体)4,3(~NX中抽取的样本(4321,,,XXXX)的均值,则)51(<<-XP＝.4.设?维随机变量),(YX的联合密度函数为则条件密度函数为,当
时,=)(xyfXY5.设)(~mtX,则随机变量2XY=服从的分布为(需写出?由度)6.设某种保险丝熔化时间),(~2σμNX（单位：秒），取16=n的样本，得样本均值和?差分别为36.0,152==SX，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7.设X的分布律为X123已知?个样本值)1,2,1(),,(321=xxx，则参数的极?似然估计值
为三.计算题（40分，每题8分）1.已知?批产品中96%是合格品.检查产品时，?合格品被误认为是次品的概率是0.02；?次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X与Y相互独?，X，Y分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求YXZ23+=的密度函数)(zfZ.3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ
的泊松分布.假定各周的销售量是相互独?的.?中?极限定理计算该商店?年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4.总体),(~2σμNX，),,,(21nXXXΛ为总体X的?个样本.求常数k,使∑=-niiXXk1为?的?偏估计量.5．（1）
根据长期的经验，某???产的特种?属丝的折断?),(~2σμNX（单位：kg）.已知8=σkg，现从该??产的??批特种?属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=xkg.问这批特种?属丝的平均折断?可否认为是570kg？
（%5=α）（2）
已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN.某?抽取5个样品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.α作假设检验.问这天的纤度的总体?差是否正常？试?%=10四.证明题（7分）设随机变量Z
X+B.试证明随机变量Y,1(pY,相互独?且服从同?贝努利分布)X,与Z相互独?.附表：标准正态分布数值表2χ分布数值表t分布数值表概率论与数理统计复习题（3）参考答案?.判断题（10分，每题2分）
是
是.?.选择题（15分，每题3分）
（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三.填空题（28分，每题4分）1.1/22；2.≤>=000)])3/[ln()(1yyyfyfyY；3.0.9772；4.当10<<<-=他其0)2/(1)(xyxxxyfXY；5.),1(mF6.上限为15.263.7.5/6.四.计算题（40分，每题8分）1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.(2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=?+?=+=BAPBPBAPBPAP，(4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===APBAPBPABP(2分)2.
>=-其他)(xexfxXλλ??>=-其他0)(yeyfyYμμ(1分)
0≤z时，0)(=zFZ，从?0)(=zfZ；(1分)0≤z时，?∞+-∞-=dxxzfxfzfYXZ]2/)3[()()(21(2分))(232/3/3/0]2/)[(21zzzxzxeedxeμλμλλμλμλμ-------==
(2分)所以
≤>--=--0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZμλλμλμ[≤>--=--0,00),(32)(3/2/zzeezfzzZμλλμλμ](2分)3.设iX为第i周的销售量,52,,2,1Λ=iiX)1(~P(1分)则?年的销售量为∑==521iiXY，52)(=YE,52)(=YD.(2分)由独?同分布的中?极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-
Φ+
Φ≈
<-<-=<4.注意到5.(1)要检验的假设为570:,570:10≠=μμHH(1分)检验?的统计量)1,0(~/0NnXUσμ-=，拒绝域为96.1)1(025.02==-≥znzUα.(2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为平均折断?为570kg.[96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U,落在拒绝域外，故接受原假设0H，即可以认为平均折断?为571kg.](1分)()niiXXnXXnXX---+--=-ΛΛ)1(121)2(1)(,0)(2分σnnXXDXXEii-=-=-)1(1,0~2分
--σnnNXXidzennzXXEnnzi2212121|||)(|σσπ--∞+∞-?-=-dzen
nznnz221201212σσπ--∞+?-=)3(122分σπnn-=?
-=-∑∑==niiniiXXEkXXkE11||||σπnnkn122-=σ令=(2)要检验的假设为221220048.0:,048.0:≠=σσHH(1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσHH]检验?的统计量)1(~)(2202512--=∑=nXXiiχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn(2分)41.1=x[49.1=x]488.9739.150023.0/0362.020>==χ,落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.02<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H，即认为该天的纤度的总体?差不正常.(1分)五、证明题(7分)由题设知X01YX+012PpqP2qpq22p(2分))0()0()0,0(3==+====+ZPYXPqZYXP；)1()0()1,0(2==+====+ZPYXPpqZYXP；)0()1(2)0,1(2==+====+ZPYXPpqZYXP；
篇九：()d=()b
西城学探诊九上数学答案答案与提?第???章
?次根式测试11．a≥－1．2．<1，>－3．3．x<－2．4．(1)7；(2)7；(3)7；(4)－7；(5)0.7；(6)49．5．C．6．B．7．D．8．D．9．(1)x≤1；(2)x＝0；(3)x是任意实数；(4)x≤1且x≠－2．10．(1)18；(2)a2＋1；(3);23-(4)6．11．x≤0．12．x≥0且?=/21x13．±1．14．0．15．B．16．D．17．(1)π－3．14；(2)－9；(3);23(4)36．1-或1．19．0．20．提?：a＝2，b＝3，于是1测试21．x≥0且y≥0．2．(1);6(2)24；(3)－0.18．3．(1)42；(2)0.45；(3).53-4．B．5．B．6．B．7．(1);32(2)45；(3)24；(4);53(5);3b(6);52(7)49；(8)12；(9)?yxy2638．.cm629．.7210．210．11．(1)>；(2)>；(3)<．12．B．13．D．14．(1);245yx(2);332ba+(3);34(4)9．15．1．16．(1);12-(2).2测试31．(1);32(2);23x(3);342xyyx(4);xxy(5);36(6);223(7);32+xx(8)630．2．.3)5(;3)4(;3)3(;2)2(;3)1(aa3．C．4．C．5．C．6．.4)8(;322)7(;22)6(;63)5(;215)4(;22)3(;35)2(;54)1(-7．?-3．2139)3(;42)2(;32)1(8．?yyxxx55)4(;66)3(;2)2(;55)1(9．0.577，5.196．10．A．11．C．12．.)3(;33)2(;)1(baxbab+13．.112;2222222=+=+-yxxyyxyx14．.1)3(;1011)2(;722)1(nn-+--15．当a≥0时，aaa==22)(；当a<0时，aa-=2，?2)(a?意义．测试41．.454,125;12,27;18,82,322．(1).)2(;33x3．C．4．A．5．C．6．.337．.632+8．?8279．.23+10．.214x11．.3x12．1．13．错误．14．C．15．.12+16．-42341117．.321ba+18．0．19．原式,32yx+=代?得2．20．1．21．(1)都画“√”；(2)1122-=-+nnnnnn(n≥2，且n为整数)；(3)证明：?-=-=-+-=-+111)1(1223222nnnnnnnnnnnn测试51．6．2．.3,723．(1);22(2).3ax-4．D．5．D．6．B．7．668．.1862--9．.3314218-10．?41711．.21512．.62484-13．(1)3；(2).55--14．B．15．D．16．?-4117．2．18．.21-19．ab4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．20．(1)9；(2)10．21．4．22．(1)2；(2)yx2-；(3)mn；(4)32-；(5)223-；(6)3223+(答案)不唯?．23．约7.70．第???章
?元?次?程测试11．1，最?，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．2x2－6x－1＝0，2，－6，－1．3．k≠－4．4．x2－12x＝0，1，－12，0．或－x2＋12x＝0，－1，12，05．－2．6．.32±=y7．A．8．A．9．C．10．C．11．y1＝2，y2＝－2．12．.23,2321--=+-=xx13．x1＝－11，x2＝9．14．x1＝0，x2＝－2．15．.12,03)12(22+=-++xx16．(2－n)x2＋nx＋1－3n＝0，2－n，n，1－3n.(或(n－2)x2－nx＋3n－1＝0，n－2,－n，3n－1.)17．1．18．A．19．C．20．C．21．D．22．?±=3322.1x23．.14,5421-=-=xx24．x1＝1，x2＝7．25．.,21mnxmnx+-=+=26．k＝－1，x＝2.27．C．28．m＝1不合题意，舍去，m＝－1．29．∵3∴三?形边长为2cm，5cm，5cm，则周长为12cm．测试21．16，4．2．?43,1693．?2,42pp4．?abab2,4225．).04(2422≥--±-=acbaacbbx6．2，10，－3．7．C．8．D．9．B．10．B．11．.21±=x12．.33±=y13．.72,7221--=+-=xx14．.332,321-==xx15．x1＝－1，x2＝－3.16．?=-=51,121xx17．.33,321,1,033)321(2-+=-+++xx18．2,－419．D．20．C．21．B．22．?-=+=3102,310221xx23．.,2221nmmxnmmx+--=++-=24．?--=+-=231,23121xx25．?==3321xx26．?-=+=2222,222221xx27．mxx-==12,12128．(x－2)2＋1，x＝2时，最?值是1．测试31．(1)>(2)＝(3)<．2．－1．3．≥0．4．m＝0或m＝－1．5．B．6．C．7．B．8．D．9．(1)k<1且k≠0；(2)k＝1；(3)k>1．10．a＝2或3．11．?＝m2＋1>0，所以?程有两个不相等的实数根．12．C．13．D．14．C．15．B．16．C．17．?-===21,421xxm18．提?：?＝－4(k2＋2)2<0．19．2．20．∵m<0，∴?＝m2＋4－8m>0．21．设两个?程的判别式分别为?1，?2，则?1＝a2－4c，?2＝b2－4d．∴?1＋?2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0．从??1，?2中?少有?个?负数，即两个?程中?少有?个?程有实数根．测试41．x＝0，x2＝3．2．.2,2721-==xx3．?==32,021xx4．x1＝x2＝－3．5．.6,021==xx6．.322,021-==xx7．x＝1，x2＝3．8．x1＝x2＝2．9．B．10．D．11．?==32,221xx12．?==33,021xx13．x1＝7，x2＝－4.14．x1＝2b，x2＝－b．15．x1＝0，x2＝2．16．.3,2521=-=xx17．x1＝3，x2＝4．18．.2,021==xx19．x1＝－1，x2＝－7．20．C．21．D．22．C．23．x1＝0，x2＝－10.24．?-=-=34,821xx25．.2,221baxbax+=-=26．?==baxabx21,27．(1)?＝(m2－2)2．当m≠0时，?≥0；(2)(mx－2)(x－m)＝0，m＝±1或m＝±2．测试51．?-=+=331,33121xx2．x1＝1，x2＝－1．3．.1,3221==xx4．.102,10221-=+=xx5．B．6．B．7．B．8．D．9．?-==21,3221xx10．.32,3221-==xx11．x1＝m＋n，x2＝m－n.12．?==axax2,212113．51,021==xx(因式分解法)．14．x1＝16，x2＝－14(配?法)．15．6191±=x(分式法)．16．3±=x(直接开平?法)．17．x1＝16，x2＝－1(因式分解法)．121==xx(公式法)．19．2215±=x(公式法)．20．x＝8．21．x＝－a±b.22．B．23．B．24．x1＝2，x2＝－2．25．.227±=y26．?==22,221xx27．k＝0时，x＝1；k≠0时，.1,121==xkx．2128．0或?3529．?＝4[(a－b)－(b－c)]2＝4(a－2b＋c)2＝0．30．3(x－1)(x＋3).31．?+---)21)(21(xx32．,,acab-(1);25,23--(2)－8，－6；(3);34,2(4).2;94;372;916;1⑤④③②①--测试61．(1)??时间?作总量(2)速度×时间．2．1.1a，1.21a，3.31a.3．a81100元．4．D．5．D．6．三个数7，9，11或－11，－9，－7．7．三边长为.2,226,226+-8．50％．9．2cm．10．1?．11．3000(1＋x)2＝5000．12．10％．13．(50＋2x)(30＋2x)＝1800．14．(1)1800；(2)2592．15．长28cm，宽14cm．16．10％．17．10元或20元．18．2分钟．19．(1)?蚀和风蚀造成的??流失?积分别为165万km2和191万km2；(2)平均每年增长的百分数为10％．
第??三章
旋
转测试11．?点O，?个?度，旋转中?，旋转?，旋转中?，旋转?．2．对应点．3．O，90°，A"点，A"B"，∠B"，∠AOA"＝90°．4．O点，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE．5．120．6．180．7．270．8．距离，旋转?，全等．9．B．10．D．11．D．12．C．13．A．14．答案不唯?，如可看成正△ACE绕其中?旋转60°得到的．15．可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的．16．略．17．略．
18．物体A向右平移，移动的距离是20cm．19．△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF⊥CE．20．分两类：(1)A与C是对应点．(2)B与C是对应点，对(1)的作法：(1)连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；(2)连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．同理可作出(2)的O′选点．21．提?：如图1，以C为旋转中?，将△APC绕C点逆时针旋转60°得到△BDC，易证△PCD为等边三?形，△PBD是以BP，AP(＝BD)，CP(＝PD)为三边的三?形．∠PBD＝53°，∠BPD＝64°，∠PDB＝63°．图1测试21．180°，重合，对称中?，对称点．2．(1)线段，对称中?，平分；(2)全等图形．3．180°，重合，对称中?．4．中?对称，它的中点．5．中?对称，它的两条对?线的交点．6．中?对称，它的圆?．7．AB＝CD且AB∥CD或AB与CD共线．8．C点，点F，D点，EG，EG，C点，平分，△FGE．9．OF＝OE，全等．10．D．11．B．12．C．13．C．14．略．15．作法：分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中?．其理由是关于中?对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中?，?CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中?．16．略．17．18．(1)A1(1，－1)、B1(3，－2)、C1(4，1)．(2)A2(3，－5)、B2(5，－6)、C2(6，－3)．19．(1)平移变换、轴对称变换、旋转变换．?个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和??都不会改变．即所得的图形与原图形全等．(2)a＝5，b＝2，c＝5，(a＋b＋c)a＋b－c＝122＝144．20．l1∶y＝2x－3，l2∶y＝－2x－3，l3∶y＝－2x＋1．21．第2张，是中?对称图形．测试31．22．2．333．?-)3,1(4．.525．16．60．
7．B．8．B．9．A．10．A．11．提?：如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连结AC，AE．可证△BCD≌△ECA，AE＝BD，∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，即AB2＋BC2＝BD2．11题图12．提?：如图，延长EC到M，使CM＝AF，连结BM．易证△AFB≌△CMB，∠4＝∠M．?AD∥BC，∴4＝∠2＋∠5＝∠1＋∠5＝∠3＋∠5．
∴∠M＝∠EBM．∴BE＝EM＝AF＋CE．12题图13．提?：延长FD到H，使DH＝BE，易证△ABE≌△ADH．再证△AEF≌△AHF．21=∠=∠∴FAHEAF.21BADEAH∠=∠14．提?：如图，(1)连结CD，证△CDE≌△BDF．CE＝BF．
∵CA＝CB，∴AE＝CF．在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴AE2＋BF2＝EF2．(2)延长FD到M，使DM＝DF，连结AM、EM，先证△BFD≌△AMD．∴AM＝BF，∠DAM＝∠B，再证EM＝EF．14题图第??四章
圆测试11．平?，旋转?周，图形，圆?，半径，⊙O，圆O．2．圆，?中同长也．3．(1)半径长，同?个圆上，定点，定长，点．(2)圆?的位置，半径的长短，圆?，半径长．4．圆上的任意两点，线段，圆?，弦，最长．5．任意两点间，弧，圆弧AB，弧AB．6．任意?条直径，?条弧．7．?于半圆的弧，?于半圆的弧．8．等圆．9．(1)OA，OB，OC；AB，AC，BC，AC；；及(2)40°，50°，90°．10．(1)提?：在△OAB中，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B．同理可证∠OCD＝∠ODC．?
∵
∠AOC＝∠OCD－∠A，∠BOD＝∠ODC－∠B，∴
∠AOC＝∠BOD．(2)提?：AC＝BD．可作OE⊥CD于E，进?证明．11．提?：连结OD．不难得出∠C＝36°，∠AOC＝54°．12．提?：可分别作线段AB、BC的垂直平分线．测试21．轴，经过圆?的任何?条直线，中?，该圆的圆?．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧．
4．6．5．8；6．.120,36o7．a22，a218．2．9．.1310．.1311．.2412．提?：先将?等分(设分点为C)，再分别?等分和．13．提?：题?中的“问径?何”是求圆材的直径．答：材径?尺六?．14．75°或15°．15．22cm或8cm．16．(1)作法：①作弦BB"⊥CD．②连结BA"，交CD于P点，连结PB．则P点为所求，即使AP＋PB最短．(2)cm.3217．可以顺利通过．测试31．顶点在圆?，?．2．??nm3603．它们所对应的其余各组量也分别相等4．相等，这两条弦也相等．5．提?：先证＝．6．EF＝GH．提?：分别作PM⊥EF于M，PN⊥GH于N．7．55°．8．C．9．＝3．提?：设∠COD＝α，则∠OPD＝2α，∠AOD＝3α＝3∠BOC．10．(1)作OH⊥CD于H，利?梯形中位线．(2)四边形CDEF的?积是定值，96221)(21?==?+=CDCHCDDECFS＝54．测试41．顶点，与圆相交．2．该弧所对的，?半．3．同弧或等弧，相等．4．半圆(或直径)，所对的弦．5．72°，36°，72°，108°．6．90°，30°，60°，120°．7．60°，120°．8．C．9．B．10．A．11．B．12．A．13．C．14．提?：作⊙O的直径AB"，连结CA"．不难得出AB"＝cm.3815．cm.3416．提?：连结AH，可证得∠H＝∠C＝∠AFH．17．提?：连结CE．不难得出cm.25=AC18．提?：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC．19．提?：连结MB，证∠DMB＝∠CMB．测试51．外，上，内．2．以A点为圆?，半径为R的圆A上．3．连结A，B两点的线段垂直平分线上．4．不在同?直线上的三个点．5．内接三?形，外接圆，外?，三边的垂直平分线．6．内，外，它的斜边中点处．7．
.4332R8．.3π2a9．26cm．10．20πcm．11．略．12．C．13．D．14．D．15．B．16．D．17．A点在⊙O内，B点在⊙O外，C点在⊙O上．18．)25,1(--，作图略．
测试61．D．2．C．3．C．4．C．5．D．6．C．7．72°．8．32°．9．,cm21045°10．60°或120°．11．提?：先证OD＝OE．12．4cm．13．)0,32(A，提?：连结AD．14．略．15．∠CAD＝30°，.πcm6)(π6122==AOS提?：连结OC、CD．
测试71．三，相离、相切、相交．2．有两个公共点，圆的割线；有?个公共点，圆的切线，切点；没有公共点．3．d>r；d＝r；d4．圆的切线垂直于过切点的半径．5．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．6．过A点且与直线l垂直的直线上(A点除外)．7．(1)当cm13600<60>R时．8．提?：作PF⊥OB于F点．证明PF＝PE．9．直线DE与⊙O相切．提?：连结OA，延长AO交⊙O于F，连结CF．10．提?：连结OE、OD．设OE交BC于F，则有OE⊥BC．可利?∠FEM＋∠FME＝90°．证∠ODA＝90°．11．提?：连结OF，FC．12．BC与半圆O相切．提?：作OH⊥BC于H.证明.21EFOH=13．提?：连结OE，先证OE∥AC．14．BC＝AC．提?：连结OE，证∠B＝∠A．15．直线PB与⊙O相切．提?：连结OA，证ΔPAO≌ΔPBO．16．8cm．提?：连结OA．测试81．这点和切点之间的线段的长．2．两，切线长，圆?的连线，两条切线的夹?．3．这个三?形的三边的距离．4．与三?形各边都相切，三?形三条?平分线的交点，内?．5．1∶2∶32．6．116°．7．提?：连线OC，OE．8．略．9．略．10．(1)70°；(2)20cm．11．(1)r＝3cm；(2)cbaabr++=(或2cbar-+=，因为2cbacbaab-+=++)．12．).(21cbarS++=
13．提?：由BOCA∠=+∠o9021，可得∠A＝30°，从?BC＝10cm，cm310=AC．测试91．B．2．B．3．A．4．C．5．D．6．15πcm2．7．(1)相切；(2)∠BCD＝∠BAC．8．70°．9．(1)略；(2)连结OD，证OD∥AC；(3).325=DE10．(1)△DCE是等腰三?形；(2)提?：可得3==BCCE.11．(1)略；(2)AO＝2．测试101．公共点，外部，内部．2．只有?个公共点，切点，外部，内部．3．有两个公共点，交点，公共弦．4．d>r1＋r2；d＝r1＋r2；r1－r25．C．6．C．7．2或48．4．(d在231(+14．提?：作⊙O1的直径AC1，连结AB．15．相切．提?：作⊙O2的直径BF，分别连结AB，AF．16．(1)当0≤t≤5.5时，d＝11－2t；当t>5.5时，d＝2t－11．(2)①第?次外切，t＝3；②第?次内切，;311=t③第?次内切，t＝11；④第?次外切，t＝13．测试111．相等，?．2．内接正n边形．3．外接圆的圆?，外接圆的半径，圆??，距离．4．
-nnnn360,360,180)2(5．?+=nnnnanrarR21,412226．135°，45°．7．23:1:1(或3:2:2)．8．.3:229．略．10．C．11．B．12．B．13．(1);231RAA=(2)222R(3).222R14．AB∶A′B′＝1∶2，S内∶S外＝1∶2．15．AB∶A′B′＝3∶2，S内∶S外＝3∶4．测试121．;180πRn2．由组成圆??的两条半径，圆??所对的弧，.21,360π2lRRn3．S△OAB，S扇形．4．.9157,π516o"5．120°，216°．6．3πcm．7．A．8．D．9．B．10．.)8π43(2a-11．.π3838-12．的长等于的长．提?：连结O2D．13．提?：设AO"＝R，∠AOB＝n°，由,180π,180)(π21RnldRnl=+=可得R(l1－l2)＝l2d．?.)(21212121)(2121)(21211212121dlldldldlllRRldRlS+=+=+-=-+=测试131．直?边，圆锥，顶点，底?圆周上任意?点，?．2．扇形，l，2πr，πrl，πrl＋πr2．3．8πcm，20πcm2，288°．4．8πcm，4cm，,cm2848πcm2．5．C．6．B．7．D．8．B．9．D．10．B．11．16πcm2．12．.cm53提?：先求得圆锥的侧?展开图的圆??等于180°，所以在侧?展开图上，.5363,902222o=+=+==∠ABPAPBPAB第??五章
概率初步测试11．(3)、(9)、(10)、(11)；(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(12)；(5)；(12)．2．D．3．D．4．C．5．C．6．可能发?．虽然这个事件发?的?率很?，但它仍然是可能发?的事件，是不确定事件．7．纸?埋在2号区域的可能性最?．因为2号区域的?积是整个区域?积的,21?1号、3号区域的?积都是整个区域?积的,41当随意投?纸?时，落在2号区域的可能性要?．8．这个游戏是公平的．因为??两?的直?三?形都全等，且个数也分别相等，所以??两?直?三?形?积的和也分别相等，?因为??两??形的弦长都是直?三?形的斜边，所以??两??形?积的和也分别相等，因此??两?区域?积各占圆?积的50％，即镖扎在??两?区域?积的概率均为50％．
9．两个?的说法都不同意．两个转盘的?积??不同，但是蓝?部分所占总?积的?例相同，都是,41因此预计成功的机会都是25％．10．(1)左图中，可能处于A区域或B区域，可能性最?的是处于B区域．右图中，可能处于1，2，3，4，5，6区域，处于各区域的可能性相同．(2)左图中，投掷结果可能为1，2，3，4，5，6，可能性?样．
右图中，投掷结果可能为1或2，可能性?样．(3)投掷结果可能为正?或反?，可能性?样．测试21．频率，概率．2．0.15．3．(1)4，80％；(2)5006，50.1％，4994，49.9％；(3)0.5．4．D．5．A．6．(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；(2)0.75．7．①、③、④．8．.50000019．D．10．D．11．A．12．最后?位数可以是0～9这10个数字中的?个，故正好按对密码的概率是?1011314．不同意．10次的实验次数太少，所得频率不能充分代表概率，所以应多做实验，如100次实验后，?摸到1的次数除以100，才能近似代表概率值．15．不对．三种情况中，出现“?正?反”的有两种可能，其概率应为?=?2124116．(1);53(2);52(3)0；(4)1；(5)?．测试31．红．2．(1);61(2)?313．,41糖果．4．(1);541(2);272(3);5413(4);2713(5)?27265．D．6．C．7．B．8．P(摸到2的倍数的卡?);21105==P(摸到3的倍数的卡?);103=P(摸到5的倍数的卡?)?==511029．中间两位可能是00～99中的?种情况，故?次就可打开?机的概率是
.100110．?5211．?4112．?35813．C．14．D．15．B．16．A．17．(1)值班顺序共有6种排列?法；(2)甲在?前的有3种；(3)概率为=216318．可能结果有6种，?猜正确的只能是?种，故概率是.6119．两张牌?数字之和共有16种等可能的结果，其中等于5的有4种，故其概率为;41和等于2和8的概率最?．20．(1)设计12个红球，8个?球，4个黄球；(2)设计红球和黄球各9个，?球6个．测试41．D．2．D．3．(1)画树形图来找出所有可能情况．甲摸得球的颜?：况，每种情况出现的机会均等，?取胜的概率为=31934．(1)每个?球被摸到的机会均等，故P(摸到蓝??球)?=31由上表可知?王和?李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中?王赢的情况有3种，?李赢的情况有6种．
∴P(?王赢),3193==P(?李赢),3296==,3231=/∴此游戏规则对双?是不公平的．5．列表考虑所有可能情况：能性相同，其中两个数字之积为?负数有7个，负数有5个，∴P(??获胜),127=
P(?明获胜).125=∴这个游戏对双?不公平．6．剪??A，?头?B，布?C，画出树形图如下：由树形图可知，三?随机出拳的所有可能情况有27种，每种情况出现的可能性相同，其中，(1)不分胜负的有：AAA，BBB，CCC，ABC，共4个，P(三?不分胜负);274=(2)??胜??负的有：ACC，AAB，ABA，BAA，BBC，CBB，CAC，CCA，BCB，共9个，P(??胜??负).31279==7．画出树形图：由树形图可知，三辆车在?字路?随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性??相同，其中，(1)三辆车全部继续直?的结果只有?个，P(三辆车全部继续直?);271=(2)两辆车向右转，?辆车向左转的结果有3个，P(两辆车向右转，?辆车向左转);91273==(3)?少有两辆车向左转的结果有7个，P(?少有两辆车向左转).277=8．?619．.43,4110．?1000000111．2．12．B．13．C．14．(1)黄球有654315=--÷(个)；(2)任意摸出?个红球的概率是?15415．.8116．(1)要求只有两个奇数即可；(2)要求必须有1，2，4，5，另外两个数只要?于6即可．因此可以选1，2，4，5，7，8．测试51．概率，频率．2．8，12，4，26．3．2．4．200．5．A．6．B．7．(1)频率依次为0.90，0.92，0.91，0.89，0.90；(2)概率是0.9．8．可估计三?球总数为100%2525=个，则黄球约为40个，红球约为100－40－25＝35个．9．9．10．?154;4111．可能性是;11可取3个?球和两个红球，?红球代表过了保质期的饮料，从这5个球中任取两个，这两个均为红球的概率即为所求．12．(1)10010052000=?(?)，估计箱??有100?不合格产品；(2)0.5×(2000－100)－1×100＝850(元)，这箱笔芯能赚钱，赚了850元．13．(1)先求有标记数与总条数的?,67928得池塘鱼数242567928100=÷=条，估计可能不太准确，因为实验次数太少．(2)可以先捞出?定数?的鱼(?如30条)，做上标记再放回，?天后，在池塘?随机捞取，每次捞50条，求带有标记和不带有标记鱼的数??．重复实验100次，求出平均值，然后?30除以平均?值，即可估计池塘?的鱼数．14．从袋中随机摸取?球，记下颜?放回摇匀，摸20次为?次实验，若摸出n个橙球，则摸到橙球的频率为;20n重复多次实验，?实验频率估计理论概率；?2030n÷求出袋中球的总数，再?总数减去30个橙球数，就得出放进去的?球数．15．?先统计出联通?户数量m，然后随机调查1000名?机?户，如果其中有n名中国联通?户，则可估计对?的市场占有率为,10001n-对??户数量为mnm-1000名．16．?案?：从?袋中摸出10粒棋?做上标记，然后放回?袋．拌匀后从中摸出20粒棋?，求出标记的棋?与20的?值，不断重复上述过程30次，有标记的棋?与20的?值的平均数为,1m则估计袋中棋?有10m粒．
?案?：另拿10粒??棋?放到袋中，拌匀后，重复?案?中的过程．?棋?与20的?值平均数为,1n估计袋中原有?棋?(10n－10)粒．测试61．近似值，0．2．1，30，6．3．300．4．?515．C．6．B．7．(1)0.6；(2)0.6，0.4；(3)?球12，?球8；(4)尝试??设计出?种?案与同学交流．8．能．设男教师?数为x，则
,200805050=+x解得x＝75，估计该校约有75位男教师．9．,41略．10．?2111．估计,127.015019==≈NnP?.149.35.0127.01.022π,π2=??=≈∴=PalalP12．随实验次数的增加，可以看出??落在⊙O内(含⊙O上)的频率趋近0.5，有理由相信⊙O?积会占封闭图形ABC?积的?半，所以求出封闭图形ABC的?积为2π.13．如图，当所抛圆碟的圆?在图中边框内(宽为5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，因此所求概率等于?块正?形地砖内的边框部分和该正?形的?积?，结果为16714．?计算器设定1～365(?年按365天计)共365个随机数，每组取10个随机数，有两个数相同的记为1，否则记为0，做10组实验，求出现两个数相同的频率，?此数据来估计概率．15．由于间谍侦查到的班是随机的，设敌国有x个班严重缺员，那么,2202220x=解得x＝200，可见敌国有200个班严重缺员，仅有的20个班基本满员，?加上??不振，可以说“敌国已基本上?战??了”．第???章
?次根式全章测试1．三．2．.223,223--3．.2665-4．.555+5．.32+6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．11．.68-12．.562-13．102314．.2ab-15．.293abba-16．0．17．x<3；正整数解为1，2．18．周长为.625+19．(1);2011141411=+-+(2).)1(111111)1(11122++=+-
+=+++nnnnnn20．两种：(1)拼成6×1，对?线);cm(0.733712721222≈=+(2)拼成2×3，对?线3.431312362422≈=+(cm)．第???章
?元?次?程全章测试1．x1＝x2＝1．2．－2．3．0．4．.,0abx-±=≤5．4．6．?-497．2．8．3．9．A.10．A.11．A.12．D.13．C.14．(1)x1＝2，x2＝0；(2)x1＝2，x2＝4；(3);221==xx(4)x1＝－7，x2＝3；(5);231,23121-=+=xx(6)x1＝a，x2＝a－b．15．变为2(x－1)2＋4，证略．16．(1)k<2；(2)k＝－3．17．(1)7；(2)①；?2－?1＝（k－4)2＋4>0，若?程①、②只有?个有实数根，则?2>0>?1；(3)k＝5时，?程②的根为;2721==xxk＝6时，?程②的根为x1＝?-=+278,2782x18．?＝4m(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2＝c2．19．设出发后x秒时，?=41MONS(1)当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．?=--41)3)(24(21xx解得);s(225,2)s(225,21-=∴<±=xxxx(2)当2解得);s(2521==xx(3)当x>3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，=--)3)(42(21xx?41解得).s(225+=x综上所述，出发后s,225+或s25时，△MON的?积为.m412第??三章
旋转全章测试1．(1)左，.210(2)C，180°，中?，C点．2．旋转中?，旋转?，形状、??．3．A点，60°，正三?形．4．?415．45°．6．－1，－5．7．C．8．D．9．A．10．B．11．(1)150°；(2)等腰三?形；(3)15°．12．(1)A1(1，2)，B1(0，3)；(2)A2(3，2)，B2(2，3)，C(2，0)；(3)A3(－3，－2)，B2(－2，－3)，D(－2，0)．13．(1);6xy=(2)P1(2，3)，P2(3，2)，P3(－2，－3)，P4(－3，－2)．14．PC＝3．提?：将△ABP绕B点顺时针旋转90°，这时A点与C点重合，P点的对应点是P"，连结PP′，则△ABP≌△CBP′，△PBP′为等腰直?三?形，∠PP′C＝90°，.3)7()2(""2222=+=+=CPPPPC第??四章
圆全章测试1．D．2．A．3．B．4．C．5．D．6．C．7．A．8．C．9．C．10．B．11．A．12．30°．13．cm.3π14．cm.3215．8πcm．16．105°．17．πcm.58418．五．19．提?：连结BP．20．提?：连结BM．21．提?：延长CH到E，使CE＝CD，连结BE，证：△ABH≌△EBH．22．cm64或cm.3423．36πcm2．提?：连结OC、OA．第??五章
概率初步全章测试1．C．2．C．3．B．4．D．5．B．6．C．7．D．8．D．9．D．10．C．11．略．12．.0,6113．P(A)＝0.375，P(B)＝0.5，P(C)＝0.125．14．0.4．15．.3116．?15817．0.4．18．1．19(2)读者对该杂志满意的概率约是0.998；(3)概率是通过?量重复试验中频率的稳定性得到的?个0～1的常数．20．解：(1)?==2142)2(抽到P
篇十：()d=()b
b与d记忆口诀p与q的记忆口诀
b与d记忆口诀p与q的记忆口诀：1、和6相反就是d，和9相反就是p，和6一样就是b，和9一样就是q。2、两手握拳，拳心向内，大拇指向上，左手b，右手d，大拇指向下，左手p，右手q。3、拼音口诀。左下半圆ddd，右下半圆bbb。左上半圆qqq，右上半圆ppp。
汉语拼音学习方法
1、实物帮助法。这种方法是通过用实物来记忆某些字母的音和形。学习声母“f”和“t”时，“f”和“t”的形像一根带短柄的弯头拐杖。拐杖拄地可表“f”，拐杖竖直举起可表“t＂所以记住弯头拐杖，就记住声母“f”和“t”的形。
2、学动物鸣叫法。有些拼音字母的发音像某些动物的叫声，孩子一般都很喜欢小动物，妈妈们可以再教孩子学习拼音的时候用动物的叫声来让宝宝记住读音。复韵母“ei”发音就是小羊“咩咩”叫的声音，公鸡的啼声，就是“o”的发音声。让宝宝一边学习读音一边模仿动物的动作，学习起来也更有趣。
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